Question

Với giá trị nào của m thì phương trình \(\left(m-1\right)x^2-2\left(m-2\right)x+m-3=0\) nghiệm thoả mãn \(x_1+x_2+x_1x_2< 1?\) 

Answer 1

\(\Delta'=\left(m-2\right)^2-\left(m-1\right)\left(m-3\right)=1>0;\forall m\)

\(\Rightarrow\) Pt luôn có 2 nghiệm với \(m\ne1\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{2\left(m-2\right)}{m-1}\\x_1x_2=\dfrac{m-3}{m-1}\end{matrix}\right.\)

\(x_1+x_2+x_1x_2< 1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2\left(m-2\right)}{m-1}+\dfrac{m-3}{m-1}< 1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{3m-7}{m-1}-1< 0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2m-6}{m-1}< 0\)

\(\Leftrightarrow1< m< 3\)

Answer 2

Điều kiện: m\(\ne\)1.

\(\Delta\)'=(m-2)²-(m-1)(m-3)=1>0.

x₁+x₂+x₁x₂=\(\dfrac{2\left(m-2\right)}{m-1}+\dfrac{m-3}{m-1}\)=\(\dfrac{3m-7}{m-1}\)<1 \(\Rightarrow\) 3m-7<m-1 \(\Rightarrow\) m<3.

Vậy với m\(\in\)(-\(\infty\);3)\{1}, yêu cầu bài toán thỏa mãn.