Question

Với các số dương a,b,c sao cho \(\dfrac{a}{1+b}+\dfrac{b}{1+c}+\dfrac{c}{1+a}=1\)

Tìm GTNN của P=\(\left(\dfrac{1+b}{a}-1\right)\left(\dfrac{1+c}{b}-1\right)\left(\dfrac{1+a}{c}-1\right)\)

Answer 1

☘ Đặt \(\dfrac{a}{1+b}=x\text{ và }\dfrac{b}{1+c}=y\text{ và }\dfrac{c}{1+a}=y\)

\(\Rightarrow x+y+z=1\)

☘ Ta có:

\(P=\left(\dfrac{1}{x}-1\right)\left(\dfrac{1}{y}-1\right)\left(\dfrac{1}{z}-1\right)\)

\(=\left(\dfrac{x+y+z}{x}-1\right)\left(\dfrac{x+y+z}{y}-1\right)\left(\dfrac{x+y+z}{z}-1\right)\)

\(=\dfrac{\left(y+z\right)\left(x+z\right)\left(x+y\right)}{xyz}\)

☘ Áp dụng bất đẳng thức AM - GM

\(\Rightarrow P\ge\dfrac{8xyz}{xyz}=8\)

☘ Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)