Phép nhân và phép chia các đa thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Hoàng Thị Thúy

Với a,b,c là các số thức dương .Chứng minh rằng:

\(\dfrac{a^5}{a^2+ab+b^2}+\dfrac{b^5}{b^2+bc+c^2}+\dfrac{c^5}{c^2+ac+a^2}\ge\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\)

@Ace Legona

Feed Là Quyền Công Dân
29 tháng 7 2017 lúc 21:50

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có:

\(VT=\dfrac{a^6}{a^3+a^2b+ab^2}+\dfrac{b^6}{b^3+b^2c+bc^2}+\dfrac{c^6}{c^3+ac^2+a^2c}\)

\(\ge\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{a^3+a^2b+ab^2+b^3+b^2c+bc^2+c^3+ac^2+a^2c}\)

\(=\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\). Cần chứng minh BĐT

\(\dfrac{\left(a^3+b^3+c^3\right)^2}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\dfrac{a^3+b^3+c^3}{3}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3+b^3+c^3}{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)}\ge\dfrac{1}{3}\Leftrightarrow3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Lại xài BĐT Holder ta có:

\(\left(1+1+1\right)\left(1+1+1\right)\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)

\(\Rightarrow3\left(a^3+b^3+c^3\right)\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{3}\ge\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\ge a^2+b^2+c^2\)

BĐT cuối nên ta có cả bài này sai. Ai có cách khác hay soi lỗi hộ thì tks trước :v

Hoàng Thị Thúy
29 tháng 7 2017 lúc 10:06

@Xuân Tuấn Trịnh và những bạn khác nữa giúp mình đi

Hoàng Thị Thúy
29 tháng 7 2017 lúc 13:08

Nguyễn Huy Tú,nguyen van tuan,

Hoàng Thị Thúy
29 tháng 7 2017 lúc 13:57

Trần Đăng Nhất


Các câu hỏi tương tự
Nguyen Thang
Xem chi tiết
Thái Viết Nam
Xem chi tiết
Ara T-
Xem chi tiết
hoa hồng
Xem chi tiết
Aquarius
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hồng Nhung
Xem chi tiết
Nguyễn Anh Thư
Xem chi tiết
Thái Đào
Xem chi tiết
Ngô Tấn Đạt
Xem chi tiết