Vào lúc 6h sáng có hai xe máy khởi hành. Xe thứ nhất chạy từ A với vận tốc v1 = 7m/s và chạy theo đường chu vi của hình chữ nhật ABCD. Xe thứ hai chạy từ D với vận tốc v2 = 8m/s và chạy theo đường chu vi của hình tam giác DAC. Biết AD = 3km ; AB = 4km, vận tốc của hai xe là không đổi trên suốt quãng đường và khi gặp nhau thì hai xe có thể vượt qua nhau.
a) Sau khi chạy được 3 phút thì khoảng cách giữa hai xe là bao nhiêu?
b) Ở thời điểm nào xe thứ hai chạy được nhiều hơn xe thứ nhất là 1 vòng?
c) Tím thời điểm mà xe thứ nhất đến C và xe thứ hai đến D cùng một lúc.
a)
AD = 3km = 3000m ; AB = 4km = 4000m
Gọi M là vị trí của xe thứ nhất sau t = 3ph = 180s, N là vị trí của xe thứ hai sau thời gian t.
Quãng đường mỗi xe đi được sau thời gian t là:
Xe thứ nhất: \(AM=v_1.t=7.180=1260\left(m\right)\)
Xe thứ hai: \(DN=v_2.t=8.180=1440\left(m\right)\)
Độ AM < AB và ĐN < AD nên xe thứ nhất vẫn nằm trên đoạn AB và xe thứ hai vẫn nằm trên đoạn AD.
Áp dụng định lý Py-ta-go cho \(\Delta AMN\) vuông tại A:
\(MN=\sqrt{AN^2+AM^2}\\ \Leftrightarrow MN=\sqrt{\left(3000-1440\right)^2+1260^2}\approx2005\left(m\right)\)
Khoảng cách giữa hai xe sau 3phuts là 2005m.
b) Thời gian mỗi xe chạy hết một vòng là
Xe thứ nhất: \(t_1=\dfrac{\left(AB+AD\right)^2}{v_1}=\dfrac{\left(4000+3000\right)^2}{7}=2000\left(s\right)\)
Xe thứ hai: \(t_2=\dfrac{DA+AC+CD}{v_2}\)
Với \(AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4000^2+3000^2}=5000\left(m\right)\)
\(\Rightarrow t_2=\dfrac{3000+5000+4000}{8}=1500\left(s\right)\)
Gọi t' là thời gian kể từ lúc hai xe xuất phát đến lúc xe thứ hai đi được nhiều hơn xe thứ nhất 1 vòng.
Số vòng mỗi xe chạy được trong thời gian t'
Xe thứ nhất: \(n_1=\dfrac{t'}{t_1}=\dfrac{t'}{2000}\)
Xe thứ hai: \(n_2=\dfrac{t'}{t_2}=\dfrac{t'}{1500}\)
Ta có: \(n_2-n_1=1\)
\(\Rightarrow\dfrac{t'}{1500}-\dfrac{t'}{2000}=1\\ \Leftrightarrow t'=6000s=1h40'\)
Vậy sau 1h40' thì xe thứ hai đi được hơn xe thứ nhất 1 vòng.
c) Khi xe thứ nhất đến C lần thứ nhất thì xe thứ nhất đã đi được nửa vòng, những lần đến C sau đó thì xe thứ nhất đều đi hết một vòng quanh chu vi hình ABCD.
Thời gian xe thứ nhất đến C lần thứ nhất: \(\dfrac{AB+AD}{v_1}=1000\left(s\right)\)
Thời gian xe thứ nhất đến C lần thứ m: \(T_1=1000+2000m\)
Thời gian xe thứ hai đến D lần thứ n: \(T_2=1500n\)
Hai xe khởi hành cùng lúc nên khi xe thứ nhất đến C và xe thứ hai đến D cùng lúc thì:
\(T_1=T_2\\ \Rightarrow1000+2000m=1500n\\ \Leftrightarrow m=\dfrac{3n-2}{4}\)
Thời gian hai xe chạy đến lúc nghỉ là: \(9h30'-6h=3h30'=12600\left(s\right)\)
Do đó:
\(T_1\le12600\\ \Rightarrow1000+2000m\le12600\\ \Leftrightarrow m\le5,8\\ T_2\le12600\\ \Rightarrow1500n\le12600\\ \Leftrightarrow n\le8,4\)
Do số vòng luôn là số nguyên dương nên \(m\le5\) và \(n\le8\)
Ta lập bảng xét giá trị:
Vào lúc 6h30' và 8h30' thì xe thứ nhất đến C và xe thứ hai đến D cùng lúc.
Thêm vào câu c là hai xe chạy đến 9h30 thì nghỉ.
