2.
\(d\left(I;d\right)=\dfrac{\left|1-1+2\right|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\sqrt{2}\)
Gọi H là trung điểm AB \(\Rightarrow IH\perp AB\)
\(\Rightarrow IH=d\left(I;d\right)\)
Áp dụng định lý Pitago:
\(IA^2=IH^2+AH^2\Leftrightarrow R^2=IH^2+\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2\)
\(\Rightarrow R^2=3\)
Phương trình (C):
\(\left(x-1\right)^2+\left(y+1\right)^2=3\)
3.
Đường tròn (C) tâm \(I\left(1;1\right)\) bán kính \(R=4\)
Gọi H là trung điểm MN \(\Rightarrow IH\perp MN\)
\(S_{IMN}=\dfrac{1}{2}IN.IM.sin\widehat{MIN}=\dfrac{1}{2}R^2.sin\widehat{MIN}\)
\(\Rightarrow S_{max}\) khi \(sin\widehat{MIN}\) đạt max
Ta có: \(\overrightarrow{IA}=\left(1;-1\right)\Rightarrow IA=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow MN\ge2\sqrt{R^2-IA^2}=2\sqrt{14}\)
\(\Rightarrow cos\widehat{MIN}=\dfrac{IM^2+IN^2-MN^2}{2IM.IN}=\dfrac{2R^2-MN^2}{2R^2}\le\dfrac{2.4^2-4.14}{2.4^2}=-\dfrac{3}{4}< 0\)
\(\Rightarrow180^0\le\widehat{MIN}< 90^0\)
\(\Rightarrow sin\widehat{MIN}\) nghịch biến \(\Rightarrow sin\widehat{MIN}\) đạt GTLN khi \(\widehat{MIN}\) đạt GTNN
\(\Rightarrow\widehat{MIH}=\dfrac{1}{2}\widehat{MIN}\) đạt GTNN
Do \(180^0\le\widehat{MIN}< 90^0\Rightarrow90^0\le\widehat{MIH}< 45^0\)
\(\Rightarrow sin\widehat{MIH}\) đồng biến \(\Rightarrow\widehat{MIH}\) đạt GTNN khi \(sin\widehat{MIH}\) đạt GTNN
\(sin\widehat{MIH}=\dfrac{MH}{IM}=\dfrac{MN}{2R}\ge\dfrac{\sqrt{14}}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi H trùng A
\(\Rightarrow d\perp IA\Rightarrow d\) nhận (1;-1) là 1 vtpt
Phương trình d:
\(1\left(x-2\right)-1\left(y-0\right)=0\Leftrightarrow x-y-2=0\)
