Question

Từ 1 điểm S nằm ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp tuyến SA,SB và cát tuyến SCD của đường tròn đó.

a)Gọi E là trung điểm của CD.Chứng minh 5 điểm S,A,E,O,B cùng nằm trên một đường tròn.

b)Nếu SA=OA thì SAOB là hình gì?Tại sao?

c)Chứng minh AC.BD=BC.DA=\(\dfrac{1}{2}\)AB.CD

Answer 1

a) a) A,E,B cùng nhìn SO dưới một góc vuông nên SAEOB nội tiếp đường tròn đường kính SO.

b) Nếu SA = OA thì SA = AB = OA = OB và góc A vuông nên tứ giác SAOB là hình vuông .

c) \(\Delta SAC~\Delta SDA\Rightarrow\dfrac{AC}{DA}=\dfrac{SC}{SA}\)

\(\Delta SCB~\Delta SBD\Rightarrow\dfrac{BC}{BD}=\dfrac{SC}{SB}\)

Mà SA=SB => AC.BD = AD.BC (1)

Trên SD lấy K sao cho CAK = BAD lúc đó:

\(\Delta CAK~\Delta BAD\left(g.g\right)\Rightarrow AC.DB=AB.CK\)

\(\Delta BAC~\Delta DAK\left(g.g\right)\Rightarrow BC.AD=DK.AB\)

Cộng từng vế ta được AC.BD+BC.AD=AB(CK+DK)=AB.DC (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AC.BD+AC.BD=AB.CD hay AC.BD=1/2AB.CD

Vậy: AC.BD=AD.BC=1/2AB.CD