Question

Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; −2; −1), B(4; 1; 2), C(2; 3; 1). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; −2; −1) đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC.

Answer 1

Trục Oy có một vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow j  = \left( {0;1;0} \right)\).

Đường thẳng BC có một vectơ chỉ phương là: \(\overrightarrow {BC} \left( { - 2;2; - 1} \right)\).

Vì mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1; - 2; - 1} \right)\) đồng thời song song với trục Oy và đường thẳng BC nên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) nhận \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow j } \right]\) làm một vectơ pháp tuyến.

\(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow j } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\1&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 2}\\0&0\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2}&2\\0&1\end{array}} \right|} \right) = \left( {1;0; - 2} \right)\)

Do đó, phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) là: \(1\left( {x - 1} \right) - 2\left( {z + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2z - 3 = 0\)