Question

Treeh hệ trục tọa độ cho 4 điểm A,B,C,D bất kì

CM \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}=0\)

Answer 1

\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}\)
\(=\overrightarrow{AB}\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\right)+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}\)
\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BC}\)
\(=\overrightarrow{CB}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{BD}\left(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}\right)\)
\(=\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{CB}\)
\(=\overrightarrow{CB}\left(\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{BD}\right)=\overrightarrow{CB}.\overrightarrow{O}=0.\)