Với việc giải:\(\sqrt{a-b\sqrt{c}}\left(a\ge b\sqrt{c}\right)\) thì bạn luôn nhớ rằng phải đưa \(a-b\sqrt{c}\) về một bình phương để bỏ được căn. Cho rằng: \(\left(x+y\right)^2=x^2+y^2+2xy=a-b\sqrt{c}\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=a\\2xy=-b\sqrt{c}\end{matrix}\right.\).
Ví dụ: \(\sqrt{9-4\sqrt{2}}\)thì mình có: \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2=9\\2xy=-4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)cho \(x,y\) là hai số: \(2\sqrt{2},-1\) hay \(-2\sqrt{2},1\). Mình sẽ có: \(9-4\sqrt{2}=\left(2\sqrt{2}-1\right)^2\) và từ đó:
\(\sqrt{9-4\sqrt{2}}=\sqrt{\left(2\sqrt{2}-1\right)^2}=\left|2\sqrt{2}-1\right|=2\sqrt{2}-1\) (Lưu ý: giá trị tuyệt đối ở đây vì: \(\sqrt{a^2}=a\left(\forall a\ge0\right)\)).
Vào bài của bạn ta có:
\(A=\sqrt{53-20\sqrt{4+\sqrt{9-4\sqrt{2}}}}=\sqrt{53-20\sqrt{4+2\sqrt{2}-1}}=\sqrt{53-20\sqrt{3+2\sqrt{2}}}=\sqrt{53-20\left(\sqrt{2}+1\right)}=\sqrt{33-20\sqrt{2}}=5-2\sqrt{2}\)
\(A=\sqrt{53-20\sqrt{4+\sqrt{9-4\sqrt{2}}}}\)
\(A=\sqrt{53-20\sqrt{4+\sqrt{\left(2\sqrt{2}-1\right)}}}\)
\(A=\sqrt{53-20\sqrt{4+2\sqrt{2}-1}}\)
\(A=\sqrt{53-20\sqrt{3+2\sqrt{2}}}\)
\(A=\sqrt{53-20\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}}\)
\(A=\sqrt{53-20.\left(\sqrt{2}+1\right)}\)
\(A=\sqrt{53-20\sqrt{2}-20}\)
\(A=\sqrt{33-20\sqrt{2}}\)
\(A=\sqrt{\left(2\sqrt{2}-5\right)^2}\)
\(A=\left|2\sqrt{2}-5\right|\)
\(A=5-2\sqrt{2}\) vì \(2\sqrt{2}-5< 0\)
