Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=8,97\\y=3,01\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}x_0=9\\y_0=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow X\left(x;y\right)=arctan\frac{\sqrt{x}}{y}\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta_x=-0,03\\\Delta_y=0,01\end{matrix}\right.\)
\(X\left(x_0;y_0\right)=arctan\frac{\sqrt{9}}{3}=\frac{\pi}{4}\)
\(X'_x=\frac{\left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right)_x'}{\frac{x}{y^2}+1}=\frac{y}{2\left(x+y^2\right)\sqrt{x}}\Rightarrow X'_x\left(x_0;y_0\right)=\frac{1}{36}\)
\(X'_y=\frac{\left(\frac{\sqrt{x}}{y}\right)'_y}{\frac{x}{y^2}+1}=\frac{-\sqrt{x}}{x+y^2}\Rightarrow X'_y\left(x_0;y_0\right)=-\frac{1}{6}\)
\(\Rightarrow X\approx X\left(x_0;y_0\right)+X'_x\left(x_0;y_0\right)\Delta x+X'_y\left(x_0;y_0\right)\Delta y\)
\(\Rightarrow X\approx\frac{\pi}{4}+\frac{1}{36}.\left(-0,03\right)-\frac{1}{6}.\left(0,01\right)=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{400}\)
Câu 2:
\(f\left(x\right)=\frac{x+2}{x^3+1}\)
Xét \(g\left(x\right)=\frac{1}{x^2}\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2\left(x+2\right)}{x^3+1}=1\) hữu hạn
\(\Rightarrow\int\limits^{+\infty}_1f\left(x\right)dx\) và \(\int\limits^{+\infty}_1g\left(x\right)dx\) cùng hội tụ hoặc phân kì
Mà \(\int\limits^{+\infty}_1\frac{dx}{x^2}\) hội tụ (do \(\alpha=2>1\))
\(\Rightarrow\) B là tích phân hội tụ
Hoặc sử dụng vô cùng tương đương: \(\frac{x+2}{x^3+1}\sim\frac{x}{x^3}\sim\frac{1}{x^2}\)
Mà \(\int\limits^{+\infty}_1\frac{1}{x^2}dx\) hội tụ nên B hội tụ
