Question

tìm x,y,z x^2 + y^2 + z^2 = xy +yz +zx và x^2009+y^2009 +z^2009=3^2010

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow 2x^2+2y^2+2z^2=2xy+2yz+2xz\)

\(\Leftrightarrow (x^2+y^2-2xy)+(y^2+z^2-2yz)+(z^2+x^2-2xz)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)

Vì bản thân \((x-y)^2; (y-z)^2; (z-x)^2\geq 0, \forall x,y,z\in\mathbb{R}\) nên để tổng của chúng bằng $0$ thì \((x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0\Rightarrow x=y=z\)

Khi đó:

\(x^{2009}+y^{2009}+z^{2009}=3^{2010}\)

\(\Leftrightarrow 3x^{2009}=3y^{2009}=3z^{2009}=3^{2010}\Rightarrow x=y=z=3\)

Vậy........