Question

Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số \(\overline{abc}\) sao cho \(\overline{abc}\) = n² - 1 và \(\overline{cba}\) = (n - 2)²

Answer 1

abc = 100a + 10b + c = n² - 1 (1)
cba = 100c + 10b + a = ( n - 2 )² = n² - 4n + 4 (2)
Lấy (1) - (2) ta được:
abc - cba
= ( 100a + 10b + c ) - ( 100c + 10b + a ) = ( n² - 1 ) - ( n² - 4n + 4 )
= 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = n² - 1 - n² + 4n - 4
= 100a - a + 10b -10b +c - 100c = n² - n² - 1 - 4 + 4n
= 99a - 99c = -5 + 4n
= 99. ( a - c ) = 4n - 5
=> 4n - 5 \(⋮\) 99
Vì 100 \(\le\) abc \(\le\) 999
=> 100 \(\le\) n² - 1 \(\le\) 999
=> 101 \(\le\) n² \(\le\) 1000
=> 11 \(\le\) n \(\le\) 31
=> 39 \(\le\) 4n - 5 \(\le\) 119
=> Vì 4n - 5 \(⋮\) 99 nên :
4n - 5 = 99
4n = 99 + 5
4n = 104
n = 104 : 4
n = 26
=> abc = n² - 1
abc = 26² - 1 ( thay n = 26 )
abc = 675
Vậy số cần tìm là 675.