Ta có:
`p^4-q^2(p^2+q^2+1)=(p^2+1)^2`
`<=>[(p^2+1)^2-p^4]+q^2(p^2+q^2+1)=0`
`<=>2p^2+1+q^2p^2+q^4+q^2=0`
`<=>(qp)^2+q^4+2p^2+q^2+1=0`
Với `q=2=>4p^2+16+2p^2+4+1=0`
`<=>6p^2+21=0(L)`
Với `p=2=>4q^2+q^4+8+q^2+1=0`
`<=>q^4+5q^2+9=0(L)`
Với `p,q>2`
`=>p,q` là số lẻ
Ta có: `(2k+1)^2=4k(k+1)+1=>(2k+1)^2` chia 4 dư 1
`=>` SCP lẻ chia 4 dư 1
`(pq)^2, q^4, p^2, q^2` là các SCP lẻ
`=>(pq)^2+q^4+2p^2+q^2+1` chia 4 dư `1+1+2+1+1=6`
`=>(pq)^2+q^4+2p^2+q^2+1` chia 4 dư 2
Mà `0` chia 4 dư 0
Vậy không tồn tại (p;q) thỏa mãn yêu cầu đề bài
Ta cần tìm tất cả các số nguyên tố ( p ) và ( q ) sao cho:
[ p2(p2 + 1) = (p^2 + 1)^2 ]
Bước 1: Biến đổi phương trình
Triển khai phương trình:
[ p2p4 - q4 + 2p^2 + 1 ]
Rút gọn:
[ - q2 - q2 = 2p^2 + 1 ]
Nhóm các phần tử liên quan:
[ p2 + 1)2(p2 + 1) ]
Rút gọn:
[ p4 - 2p2(p2 + 1) ]
[ -2p2(p2 + 1) ]
Bước 2: Kiểm tra giá trị nguyên tố
Ta thử một số giá trị nhỏ của ( p ) và ( q ).
Giả sử ( p = 2 ):
[ 22(22 + 1) = (2^2 + 1)^2 ]
[ 16 - q2 + 1) = 25 ]
[ 16 - q2) = 25 ]
[ - q2) = 9 ]
Không có số nguyên tố ( q ) thỏa mãn.
Thử ( p = 3 ):
[ 81 - q2 + 1) = 100 ]
[ - q2) = 19 ]
Tiếp tục thử nghiệm với các giá trị lớn hơn.
Giả sử ( p = 5 ):
[ 625 - q2 + 1) = 676 ]
[ - q2) = 51 ]
Tiếp tục thử các giá trị lớn hơn.
Sau khi kiểm tra một số trường hợp, ta thấy không có giá trị nguyên tố nào thỏa mãn phương trình.
Vậy không có cặp số nguyên tố nào ( p, q ) thỏa mãn bài toán này.