Question

Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+4\sqrt{1-x^2}=m\) có nghiệm

Answer 1

ĐKXĐ: \(-1\le x\le1\)

Đặt \(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}=t\Rightarrow2\sqrt{1-x^2}=t^2-2\)

\(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\le\sqrt{2\left(1+x+1-x\right)}=2\Rightarrow t\le2\)

\(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}\ge\sqrt{1+x+1-x}=\sqrt{2}\Rightarrow t\ge\sqrt{2}\)

Pt trở thành:

\(2\left(t^2-2\right)+t=m\) có nghiệm với \(t\in\left[\sqrt{2};2\right]\)

\(\Leftrightarrow f\left(t\right)=2t^2+t-4=m\)

\(-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{4}< \sqrt{2}\Rightarrow f\left(t\right)\) đồng biến

\(\Rightarrow f\left(\sqrt{2}\right)\le f\left(t\right)\le f\left(2\right)\Rightarrow\sqrt{2}\le f\left(t\right)\le6\)

\(\Rightarrow\) Để pt có nghiệm thì \(\sqrt{2}\le m\le6\)