Question

Tìm số tự nhiên n sao cho \(2^8+2^{11}+2^n\) là số chính phương

Answer 1

Giả sử \(2^8+2^{11}+2^n=a^2\Leftrightarrow2^n=a^2-2^8-2^{11}=a^2-2034=a^2-48^2=\left(a+48\right)\left(a-48\right)\)

Như vậy \(2^n=\left(a+48\right)\left(a-48\right)\)

giả sử \(n=c+d\left(c>d\right)\), khi đó:

\(2^{c+d}=\left(a+48\right)\left(a-48\right)\Leftrightarrow2^c.2^d=\left(a+48\right)\left(a-48\right)\Rightarrow2^c=a+48,2^d=a-48\Rightarrow a^c-2^d=96\Leftrightarrow2^c\left(2^{c-d}-1\right)=2^5.3\Rightarrow2^c=2^5,2^{c-d}-1=3\)Suy ra:c=7,d=5.Khi đó:n=c+d=7+5=12

Vậy n=12 thì \(2^8+2^{11}+2^n\) là số chính phương.