Lời giải:
Theo tính chất của $a$ thì tồn tại \(m,n,p\in\mathbb{N}\) sao cho:
\(a=5m+3=7n+4=11p+6\)
Ta có:
\(11p+6=5m+3\Rightarrow 11p+3=5m\vdots 5\)
\(\Leftrightarrow 10p+(p+3)\vdots 5\Leftrightarrow p+3\vdots 5\) (*)
Và: \(11p+6=7n+4\Rightarrow 11p+2=7n\vdots 7\)
\(\Leftrightarrow 7p+4p+2\vdots 7\Leftrightarrow 4p+2\vdots 7\)
\(\Leftrightarrow 2(2p+1)\vdots 7\Leftrightarrow 2p+1\vdots 7\)
\(\Leftrightarrow 2p+8\vdots 7\Leftrightarrow 2(p+4)\vdots 7\Leftrightarrow p+4\vdots 7\)
Đặt \(p+4=7t\Rightarrow p=7t-4\). Thay vào (*) thì:
\(7t-4+3\vdots 5\)
\(\Leftrightarrow 5t+2t-1\vdots 5\)
\(\Leftrightarrow 2t-1\vdots 5\Leftrightarrow 2t+4\vdots 5\)
\(\Leftrightarrow 2(t+2)\vdots 5\Leftrightarrow t+2\vdots 5\)
Để $a$ nhỏ nhất thì $p$ nhỏ nhất. Để $p$ nhỏ nhất thì $t$ nhỏ nhất. Ta thấy số tự nhiên $t$ nhỏ nhất thỏa mãn \(t+2\vdots 5\) là \(t=3\)
\(\Rightarrow p_{\min}=7t_{\min}-4=7.3-4=17\)
\(\Rightarrow a_{\min}=11p_{\min}+6=11.17+6=193\)
