\(B=\dfrac{6n+5}{2n-1}=\dfrac{3\left(2n-1\right)+8}{2n-1}=3+\dfrac{8}{2n-1}\)
Để B là số nguyên thì \(2n-1\in U\left(8\right)\)
Ta có bảng sau:
| 2n- 1 | -1 | 1 | -2 | 2 | -4 | 4 | -8 | 8 |
| n | 0 | 1 | -0,5 | 1,5 | -1,5 | 2,5 | -3,5 | 4,5 |
Vì n là số nguyên nên \(n\in\left\{0;1\right\}\)
Thay n = 0 vào B
\(\Rightarrow B=\dfrac{6.0+5}{2.0-1}=-5\)
Thay n = 1 vào B
\(B=\dfrac{6.1+5}{2.1-1}=11\)
\(B=\dfrac{6n+5}{2n-1}=3+\dfrac{8}{2n-1}\)
Để B có giá trị nguyên thì \(8⋮2n-1\Rightarrow2n-1\inƯ\left(8\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8\right\}\)
+) 2n-1=1 => n=1 => B=11
+) 2n-1=-1 => n=0 => B=-5
+) 2n-1=2 => n=1,5 (loại)
+) 2n-1=-2 => -0,5 (loại)
+) 2n-1=4 => n=2,5 (loại)
+) 2n-1=-4 => n=-1,5 (loại)
+) 2n-1=8 => n=4,5 (loại)
+) 2n-1=-8 => n=-3,5 (loại)
Vậy với n=1 thì B=11; n=0 thì B=-5
Để phân số \(B=\dfrac{6n+5}{2n-1}\) có giá trị nguyên thì :
\(6n+5⋮2n-1\)
Mà \(2n-1⋮2n-1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}6n+5⋮2n-1\\6n-3⋮2n-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow8⋮2n-1\)
Vì \(n\in Z\Rightarrow2n-1\in Z;2n-1\inƯ\left(8\right)\)
Ta có bảng :
| \(2n-1\) | \(1\) | \(2\) | \(4\) | \(8\) | \(-1\) | \(-2\) | \(-4\) | \(-8\) |
| \(n\) | \(1\) | \(1,5\) | \(2,5\) | \(4,5\) | \(0\) | \(-0,5\) | \(-1,5\) | \(-3,5\) |
| Đk \(n\in Z\) | \(TM\) | loại | loại | loại | TM | loại | loại |
loại |
Vậy \(n\in\left\{1,0\right\}\) là giá trị cần tìm
+) Với \(n=1\) thì \(B=\dfrac{6n+5}{2n-1}=\dfrac{6.1+5}{2.1-1}=\dfrac{6+5}{2-1}=\dfrac{11}{1}=11\)
+) Với \(n=0\) thì \(B=\dfrac{6n+5}{2n-1}=\dfrac{6.0+5}{2.0-1}=\dfrac{5}{-1}=-5\)
\(B=\dfrac{6n+5}{2n-1}\)
Để B nguyên thì:
\(6n+5⋮2n-1\)
\(6n-3+8⋮2n-1\)
\(3\left(2n-1\right)+8⋮2n-1\)
\(\Leftrightarrow8⋮2n-1\)
\(\Rightarrow2n-1\inƯ\left(8\right)\)
\(Ư\left(8\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4;\pm8\right\}\)
Mà 2n-1 lẻ
\(\Leftrightarrow2n-1=1\Rightarrow n=1\)
\(\Leftrightarrow2n-1=-1\Rightarrow n=0\)
Để B nguyên thì \(\dfrac{6n+5}{2n-1}\) nguyên
=> 6n + 5 \(⋮\) 2n - 1
=> 6n - 3 + 8 \(⋮\) 2n - 1
=> 8 \(⋮\) 2n - 1
=> 2n - 1 \(\in\){1 ; -1 ; 2 ; -2 ; 4 ; -4 ; 8 ; -8}
Mà n nguyên
=> n\(\in\){1 ; 0 }
