Question

Tìm nguyên hàm \(I=\int\frac{x^2-3}{x^3-2x^2-x+2}dx\)

Answer 1

Ta có :\(x^3-2x^2-x+2=x\left(x^2-1\right)-2\left(x^2-1\right)=\left(x+1\right)\left(x-1\right)\left(x-2\right)\)

Ta viết biểu thức dạng \(\frac{x^2-3}{x^3-2x^2-x+2}=\frac{A_1}{x+1}+\frac{A_2}{x-1}+\frac{A_3}{x-2}\)

Từ đó 

\(A_1\left(x-1\right)\left(x-2\right)+A_2\left(x+1\right)\left(x-2\right)+A_3\left(x+1\right)\left(x-1\right)\equiv x^2-3\) (1)

hay là \(\left(A_1+A_2+A_3\right)x^2+\left(-3A_1-A_2\right)x+\left(2A_1-2A_2-A_3\right)\equiv x^2-3\)

Áp dụng phương pháp cân bằng hệ số ta có

\(x^2\)  \(A_1+A_2+A\)

\(x^1\)  \(-3A_1-A\)

\(x^0\)  \(2A_1-2A_2-A\)

\(\Rightarrow A_1=-\frac{1}{3},A_2=1,A_3=\frac{1}{3}\)