Question

tìm nghiệm tự nhiên của phương trình 2^x+1=y²

Answer 1

Lời giải:
PT $\Leftrightarrow 2^x=y^2-1=(y-1)(y+1)$

$(y-1)(y+1)=2^x>0; y+1>0\Rightarrow y-1>0$

Do đó $2^x,y-1,y+1$ đều là các số tự nhiên khác $0$

Tồn tại $m,n\in\mathbb{N}; m< n$ sao cho \(\left\{\begin{matrix} y-1=2^m\\ y+1=2^n\end{matrix}\right.(m+n=x)\)

$\Rightarrow 2=2^n-2^m=2^m(2^{n-m}-1)$

$\Leftrightarrow 1=2^{m-1}.(2^{n-m}-1)$

Do $1$ là số lẻ nên $2^{m-1}$ lẻ. Điều này xảy ra khi $m-1=0$ hay $m=1$

Khi đó $y=1+2^m=3$

$\Rightarrow 2^x=y^2-1=3^2-1=8=2^3\Rightarrow x=3$

Vậy $x=3; y=3$