Question

Tìm nghiệm phương trình có giá trị lớn hơn 1:

(X-1)!+1=x²

Answer 1

Lời giải:

\(\bullet\) nếu \(x=2\Rightarrow 1!+1=2^2\) (vô lý)

\(\bullet\) nếu \(x=3\Rightarrow 2!+1=3^2\) (vô lý)

\(\bullet\) nếu \(x=4\Rightarrow 3!+1=4^2\) (vô lý)

\(\bullet\) nếu \(x=5\Rightarrow 4!+1=5^2\) (đúng)

Xét \(x>5\)

Từ PT \((x-1)!+1=x^2\Leftrightarrow (x-1)!=(x-1)(x+1)\)

\(\Leftrightarrow (x-2)!=x+1\)

Với \(x>5\Rightarrow (x-2)!=1...(x-3)(x-2)>(x-3)(x-2)(1)\)

Xét \((x-3)(x-2)-(x+1)=x^2-6x+5=(x-1)(x-5)>0\) do \(x>5\)

\(\Rightarrow (x-3)(x-2)> x+1\) \((2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow (x-2)!> x+1\forall x>5\), do đó với \(x>5\) thì pt vô nghiệm

Vậy PT có nghiệm duy nhất \(x=5\)

Answer 2

- Nếu x = 2 => 1! + 1 = 2² (vô lý)
- Nếu x = 3 => 2! + 1 = 3² (vô lý)
- Nếu x = 4 => 3! + 1 = 4² (vô lý)
- Nếu x = 5 => 4! + 1 = 5² (đúng)
Xét x > 5
Từ phương trình : (x - 1)! + 1 = x² <=> (x - 1)! = (x - 1)(x + 1)
<=> (x - 2)! = x + 1
Với x > 5 => (x - 2)! = 1.....(x - 3)(x - 2) > (x - 3)(x - 2) (1)
Xét (x - 3)(x - 2) - (x + 1) = x² - 6x + 5 = (x - 1)(x - 5) > 0
Do x > 5
=> (x - 3)(x - 2) > x + 1 (2)
Từ (1),(2) => (x - 2)! > x + 1 \(\forall x>5\)
=> đpcm
@Vừa học vừa chơi