Ôn tập toán 7

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyễn Linhtitanian

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x+y+z=xyz

Hoang Hung Quan
10 tháng 4 2017 lúc 9:50

Ta có:

\(x+y+z=xyz\left(1\right)\)

Chia hai vế của \(\left(1\right)\) cho \(xyz\ne0\) ta được:

\(\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xy}=1\)

Giả sử \(x\ge y\ge z\ge1\) ta có:

\(1=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xy}\le\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^2}=\dfrac{3}{z^2}\)

\(\Rightarrow1\le\dfrac{3}{z^2}\Rightarrow z^2\le3\Leftrightarrow z=1\)

Thay \(z=1\) vào \(\left(1\right)\) ta được:

\(x+y+1=xy\)

\(\Leftrightarrow xy-x-y=1\)

\(\Leftrightarrow x\left(y-1\right)-\left(y-1\right)=2\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)=2\)

\(x-1\ge y-1\) nên: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=2\\y-1=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=2\end{matrix}\right.\)

Vậy nghiệm dương của phương trình là các hoán vị của \(1,2,3\)

Trang
10 tháng 4 2017 lúc 19:05

theo bài ra ta có:

\(x+y+z=xyz\\ \Rightarrow\dfrac{x+y+z}{xyz}=\dfrac{xyz}{xyz}=1\\ \Rightarrow\dfrac{x+y+z}{xyz}=1\\ \Rightarrow\dfrac{x}{xyz}+\dfrac{y}{xyz}+\dfrac{z}{xyz}=1\\ \Rightarrow\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xy}=1\)

giả sử \(1\le x\le y\le z\) ta có:

\(1=\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{xz}+\dfrac{1}{xy}\le\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^2}\\ \Rightarrow1\le\dfrac{3}{x^2}\)

\(\Rightarrow x^2\le3\)

=> \(x^2\inƯ_{\left(3\right)}=\left\{\pm1;\pm3\right\}\)

=> x = 1

thay x = 1 vào đầu bài ta có:

\(1+y+z=yz\\ \Rightarrow1+y+z-yz=0\\ \Rightarrow\left(1+z\right)+\left(y-yz\right)=0\\ \Rightarrow\left(1+z\right)-y\left(z-1\right)=0\\ \Rightarrow\left(1+z\right)-y\left(z-1\right)-2=-2\\ \Rightarrow\left(1+z-2\right)-y\left(z-1\right)=-2\\ \Rightarrow\left(z-1\right)-y\left(z-1\right)=-2\\ \Rightarrow\left(z-1\right)\left(1-y\right)=-2\)

=> \(\left(z-1\right);\left(1-y\right)\inƯ_{\left(-2\right)}=\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

ta có bảng sau:

z-1 -1 1 2 -2
z 0 2 3 -1
1-y 2 -2 -1 1
y -1 3 2 0

vì y và z là các số nguyên dương

=> các cặp (y;z) là (3;2), (2;3)

vậy các cặp (x;y;z) là (1;3;2), (1;2;3)

vậy các nghiệm guyên dương của phương trình trên là hoán vị của 1;2;3

Shiro-No Game No Life
9 tháng 4 2017 lúc 21:31

Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}.
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí.
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3.
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2.

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Thúy Hường
Xem chi tiết
Trang
Xem chi tiết
Tam giác
Xem chi tiết
_ Yuki _ Dễ thương _
Xem chi tiết
trần cảnh hưng
Xem chi tiết
hộ toán khó
Xem chi tiết
Tam giác
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thúy
Xem chi tiết
Cathy Trang
Xem chi tiết