Lời giải:
Không mất tổng quát, giả sử \(x\geq y\geq z\)
\(\Rightarrow 1=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\leq \frac{3}{z}\)
\(\Rightarrow z\leq 3\). Mà \(z\in \mathbb{Z}^+\Rightarrow z\in \left\{1;2;3\right\}\)
TH1: \(z=1\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=0\) (loại)
TH2: \(z=2\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{2}(*)\). Mà \(x\geq y\Rightarrow \frac{1}{2}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq \frac{2}{y}\)
\(\Rightarrow y\leq 4\)
Vì \(y\geq z\Rightarrow y\in \left\{2;3;4\right\}\). Thử từng TH vào $(*)$ ta thu được \((x,y)=(6,3); (4,4)\)
TH3: \(z=3\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2}{3}\)
Mà \(x\geq y\Rightarrow \frac{2}{3}\leq \frac{2}{y}\Rightarrow y\leq 3(1)\)
Mà $y\geq z$, $z=3$ nên $y\geq 3(2)$
Từ \((1);(2)\Rightarrow y=3\), kéo theo $x=3$
Vậy \((x,y,z)=(3,3,3); (6,3,2); (4,4,2)\) và hoán vị.
