Question

Tìm nghiệm nguyên 2^x + 2^y + 2^z = 672 (với x < y < z)

Answer 1

Lời giải:

PT \(\Leftrightarrow 2^x(1+2^{y-x}+2^{z-x})=672=2^5.3.7\)

\(\Leftrightarrow 1+2^{y-x}+2^{z-x}=2^{5-x}.3.7\)

Vì $x< y< z$ nên $1+2^{y-z}+2^x$ là số nguyên dương lẻ.

Ta xét các TH sau:

Nếu $5-x< 0$ thì $2^{5-x}\not\in\mathbb{Z}$; mà $2^{5-x}$ cũng nguyên tố cùng nhau với $3,7$ nên $1+2^{y-x}+2^{z-x}\not\in\mathbb{Z}$ (vô lý)

Nếu $5-x>0$ thì hiển nhiên $2^{5-x}$ chẵn, kéo theo $1+2^{y-x}+2^{z-x}$ chẵn (vô lý)

Do đó $5-x=0$ hay $x=5$. Thay vào PT ban đầu ta có:

$2^y+2^z=640$

\(\Leftrightarrow 2^y(1+2^{z-y})=640=2^7.5\)

Vì $2^y$ chỉ có ước nguyên tố là $2$ và $1+2^{z-y}$ lẻ nên $2^y=2^7; 1+2^{z-y}=5$

$\Rightarrow y=7; z=9$

Vậy $(x,y,z)=(5,7,9)$

Answer 2

Lời giải:

PT \(\Leftrightarrow 2^x(1+2^{y-x}+2^{z-x})=672=2^5.3.7\)

\(\Leftrightarrow 1+2^{y-x}+2^{z-x}=2^{5-x}.3.7\)

Vì $x< y< z$ nên $1+2^{y-z}+2^x$ là số nguyên dương lẻ.

Ta xét các TH sau:

Nếu $5-x< 0$ thì $2^{5-x}\not\in\mathbb{Z}$; mà $2^{5-x}$ cũng nguyên tố cùng nhau với $3,7$ nên $1+2^{y-x}+2^{z-x}\not\in\mathbb{Z}$ (vô lý)

Nếu $5-x>0$ thì hiển nhiên $2^{5-x}$ chẵn, kéo theo $1+2^{y-x}+2^{z-x}$ chẵn (vô lý)

Do đó $5-x=0$ hay $x=5$. Thay vào PT ban đầu ta có:

$2^y+2^z=640$

\(\Leftrightarrow 2^y(1+2^{z-y})=640=2^7.5\)

Vì $2^y$ chỉ có ước nguyên tố là $2$ và $1+2^{z-y}$ lẻ nên $2^y=2^7; 1+2^{z-y}=5$

$\Rightarrow y=7; z=9$

Vậy $(x,y,z)=(5,7,9)$