Chương 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Tìm m để phương trình \(m.sinx+\left(m+1\right).cosx+1=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\in\left[0,2\pi\right]\)và 2 nghiệm này cách nhau \(\frac{\pi}{2}\)

Akai Haruma
18 tháng 6 2019 lúc 11:49

Lời giải:
Với $m^2+(m+1)^2>0$ ta thấy:

PT \(\Leftrightarrow \frac{m}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\sin x+\frac{m+1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\cos x=\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}(*)\)

\((\frac{m}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}})^2+(\frac{m+1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}})^2=1\) nên tồn tại $a$ sao cho:

\(\sin a=\frac{m}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}; \cos a=\frac{m+1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\). Khi đó:

\((*)\Leftrightarrow \sin a\sin x+\cos a\cos x=\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\)

\(\Leftrightarrow \cos (x-a)=\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\)

Để PT có nghiệm thì \(\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\in [-1;1]\Leftrightarrow m^2+(m+1)^2\geq 1\)

Đặt \(\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}=\cos b(1)\Rightarrow \cos (x-a)=\cos b\)

\(\Leftrightarrow x=a\pm b+2k\pi \) ($k_i$ nguyên)

PT có 2 nghiệm có dạng $x_1=a+b+2k_1\pi$ và $x_1=a-b+2k_2\pi$ (nếu $x_1,x_2$ cùng họ nghiệm thì $|x_1-x_2|=|2n\pi|\neq \frac{\pi}{2}$)

\(\Rightarrow |x_1-x_2|=|2b+2(k_1-k_2)\pi|\)

\(\Rightarrow \cos |x_1-x_2|=\cos |2b+2(k_1-k_2)\pi|=\cos 2b=\cos \frac{\pi}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow 2\cos ^2b-1=0\Leftrightarrow \cos ^2b=\frac{1}{2}\). Kết hợp vs $(1)$ suy ra $m^2+(m+1)^2=2$

$\Rightarrow m=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$

Thử lại thấy thỏa mãn.

Akai Haruma
6 tháng 8 2019 lúc 1:16

Lời giải:
Với $m^2+(m+1)^2>0$ ta thấy:

PT \(\Leftrightarrow \frac{m}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\sin x+\frac{m+1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\cos x=\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}(*)\)

\((\frac{m}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}})^2+(\frac{m+1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}})^2=1\) nên tồn tại $a$ sao cho:

\(\sin a=\frac{m}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}; \cos a=\frac{m+1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\). Khi đó:

\((*)\Leftrightarrow \sin a\sin x+\cos a\cos x=\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\)

\(\Leftrightarrow \cos (x-a)=\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\)

Để PT có nghiệm thì \(\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}\in [-1;1]\Leftrightarrow m^2+(m+1)^2\geq 1\)

Đặt \(\frac{-1}{\sqrt{m^2+(m+1)^2}}=\cos b(1)\Rightarrow \cos (x-a)=\cos b\)

\(\Leftrightarrow x=a\pm b+2k\pi \) ($k_i$ nguyên)

PT có 2 nghiệm có dạng $x_1=a+b+2k_1\pi$ và $x_1=a-b+2k_2\pi$ (nếu $x_1,x_2$ cùng họ nghiệm thì $|x_1-x_2|=|2n\pi|\neq \frac{\pi}{2}$)

\(\Rightarrow |x_1-x_2|=|2b+2(k_1-k_2)\pi|\)

\(\Rightarrow \cos |x_1-x_2|=\cos |2b+2(k_1-k_2)\pi|=\cos 2b=\cos \frac{\pi}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow 2\cos ^2b-1=0\Leftrightarrow \cos ^2b=\frac{1}{2}\). Kết hợp vs $(1)$ suy ra $m^2+(m+1)^2=2$

$\Rightarrow m=\frac{-1\pm \sqrt{3}}{2}$

Thử lại thấy thỏa mãn.


Các câu hỏi tương tự
Hoàng Quốc Tuấn
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Long
Xem chi tiết
Ngô Thành Chung
Xem chi tiết
Nguyễn Linh Chi
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Kinder
Xem chi tiết
M Thiện Nguyễn
Xem chi tiết
nanako
Xem chi tiết
Ngô Thành Chung
Xem chi tiết