Question

Tìm m để phương trình mcos²x - 4sinxcosx + m - 2 = 0 có nghiệm \(\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\)

A. \(1< m< \frac{8}{3}\)

B. \(1< m\le3\)

C. \(m< 4\)

D. \(m>4\)

Answer 1

Giải ra giùm mình luôn ạ

Answer 2

Do \(x\in\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\) nên \(cosx=0\) ko phải nghiệm, chia 2 vế của pt cho \(cos^2x\)

\(m-4tanx+\left(m-2\right)\left(1+tan^2x\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(tan^2x+2\right)-2tan^2x-4tanx-2=0\)

Đặt \(tanx=t\Rightarrow t\in\left(0;1\right)\)

\(\Leftrightarrow m\left(t^2+2\right)=2t^2+4t+2\)

\(\Leftrightarrow m=\frac{2t^2+4t+2}{t^2+2}\)

Xét \(f\left(t\right)=\frac{2t^2+4t+2}{t^2+2}\) trên \(\left(0;1\right)\)

\(f\left(t\right)=1+\frac{t^2+4t}{t^2+2}>1\)

\(f\left(t\right)=\frac{6t^2+12t+6}{3\left(t^2+2\right)}=\frac{8\left(t^2+2\right)-\left(2t^2-12t+10\right)}{3\left(t^2+2\right)}=\frac{8}{3}-\frac{\left(5-t\right)\left(1-t\right)}{3\left(t^2-2\right)}< \frac{8}{3}\)

\(\Rightarrow1< f\left(t\right)< \frac{8}{3}\Rightarrow1< m< \frac{8}{3}\) thì pt có nghiệm