Lời giải:
Gọi giao điểm của $d$ với trục hoành và trục tung lần lượt là $A,B$
\(\Rightarrow y_A=0; x_B=0\)
\(0=y_A=mx_A+6-3m\Rightarrow x_A=\frac{3m-6}{m}\)
\(y_B=mx_B+6-3m=6-3m\)
Biết tọa độ điểm A,B suy ra:
\(OA=|x_A|=|\frac{3m-6}{m}|; OB=|y_B|=|6-3m|\)
Gọi h là khoảng cách từ $O$ đến (d)
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:
\(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{m^2+1}{(3m-6)^2}\)
\(\Rightarrow h^2=\frac{(3m-6)^2}{m^2+1}\). Để h max thì \(\frac{(3m-6)^2}{m^2+1}\) max
Làm nốt, máy nhà mình vừa này bị lag
Có:
\(\frac{(3m-6)^2}{m^2+1}=\frac{9m^2+36-36m}{m^2+1}=\frac{45(m^2+1)-9(4m^2+4m+1)}{m^2+1}\)
\(=45-\frac{9(2m+1)^2}{m^2+1}\)
Ta thấy \((2m+1)^2\geq 0; m^2+1>0 \forall m\in\mathbb{R}\Rightarrow \frac{9(2m+1)^2}{m^2+1}\geq 0\)
\(\Rightarrow \frac{(3m-6)^2}{m^2+1}=45-\frac{9(2m+1)^2}{m^2+1}\leq 45\)
Dấu bằng xảy ra khi \(2m+1=0\Leftrightarrow m=-\frac{1}{2}\)
