Có lẽ cô lập m sẽ ngắn hơn xài tam thức:
\(y'=mx^2-2\left(m-1\right)x+3\left(m-2\right)\ge0;\forall x\ge2\)
\(\Leftrightarrow m\left(x^2-2x+3\right)\ge-2x+6\) ; \(\forall x\ge2\)
\(\Leftrightarrow m\ge\dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3};\forall x\ge2\) (do \(x^2-2x+3>0;\forall x\))
\(\Rightarrow m\ge\max\limits_{x\ge2}\dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3}\)
Xét hàm \(f\left(x\right)=\dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3}\) với \(x\ge2\)
\(f'\left(x\right)=\dfrac{2\left(x^2-6x+3\right)}{\left(x^2-2x+3\right)^2}=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3-\sqrt{6}< 2\left(loại\right)\\x=3+\sqrt{6}\end{matrix}\right.\)
\(f\left(2\right)=\dfrac{2}{3}\) ; \(f\left(3+\sqrt{6}\right)=\dfrac{2-\sqrt{6}}{2}\) ; \(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=0\)
\(\Rightarrow\max\limits_{x\ge2}\dfrac{-2x+6}{x^2-2x+3}=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow m\ge\dfrac{2}{3}\)
Với \(m=0\Rightarrow y=x^2-6x+\dfrac{1}{3}\) đồng biến trên \(\left(3;+\infty\right)\) không thỏa mãn
Với \(m\ne0\)
\(y'=f\left(x\right)=mx^2-2\left(m-1\right)x+3\left(m-2\right)=0\)
Có \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-3m\left(m-2\right)=-2m^2+4m+1\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\Delta'\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m\ge\dfrac{2+\sqrt{6}}{2}\) hàm đồng biến trên R (thỏa mãn)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\Delta'>0\\x_1< x_2\le2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< m< \dfrac{2+\sqrt{6}}{2}\\m.f\left(2\right)\ge0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}=\dfrac{2\left(m-1\right)}{m}< 2\\\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}0< m< \dfrac{2+\sqrt{6}}{2}\\m\left(3m-2\right)\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{2}{3}\le m< \dfrac{2+\sqrt{6}}{2}\)
Kết hợp lại ta được \(m\ge\dfrac{2}{3}\)
