Question

Tìm m để ĐTHS

\(x^3+\left(m^2-4m\right)x^2+mx+m-4\) có đồ thị nhận tâm O làm tâm đối xứng

Answer 1

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^3+\left(m^2-4m\right)x^2+mx+m-4\) là hàm lẻ

Ta có:

\(f\left(-x\right)=-x^3+\left(m^2-4m\right)x^2-mx+m-4\)

Để hàm đã cho lẻ

\(\Leftrightarrow f\left(x\right)=-f\left(-x\right)\) với mọi x

\(\Leftrightarrow x^3+\left(m^2-4m\right)x^2+mx+m-4=x^3-\left(m^2-4m\right)x^2+mx-m+4\)

\(\Leftrightarrow2\left(m^2-4m\right)x^2+2m-8=0\) ; \(\forall x\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-4m=0\\2m-8=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow m=4\)