Question

Tìm GTNN của biểu thức \(A=\dfrac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}\)

Answer 1

\(A=\dfrac{x^2+4+1}{\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{x^2+4}{\sqrt{x^2+4}}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}=\sqrt{x^2+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với \(a=\sqrt{x^2+4}\) và \(b=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}\) dương , ta có:
\(\sqrt{x^2+4}+\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}\ge2\sqrt{\sqrt{x^2+4}.\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}}\)
\(\Rightarrow A\ge2\sqrt{1}=2\)
Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+4}=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+4}}\Leftrightarrow x^2+4=1\Leftrightarrow x^2=-3\)( vô lí vì \(x^2\ge0\forall x\))
Vậy A không có giá trị nhỏ nhất.