Lời giải:
Ta sử dụng bổ đề sau: Với \(a,b\) là các số không âm thì \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\)
CM bổ đề:
Ta có \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}\Leftrightarrow (\sqrt{a}+\sqrt{b})^2\geq a+b\)
\(\Leftrightarrow 2\sqrt{ab}\geq 0\) (luôn đúng)
Do đó ta có đpcm.
Áp dụng bổ đề trên vào bài toán:
\(2014\sqrt{x}+2015\sqrt{1-x}=2014(\sqrt{x}+\sqrt{1-x})+\sqrt{1-x}\)
\(\geq 2014\sqrt{x+1-x}+\sqrt{1-x}=2014+\sqrt{1-x}\geq 2014\)
Vậy \((2014\sqrt{x}+2015\sqrt{1-x})_{\min}=2014\Leftrightarrow 1-x=0\leftrightarrow x=1\)
Đúng 0
Bình luận (1)
