Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của\(\frac{x^2+2}{x+2}\)với x>0

Answer 1

Đặt \(A=\dfrac{x^2+2}{x+2}\) ta có :

\(A=\dfrac{x^2+4x+4}{x+2}-\dfrac{4x+8}{x+2}+\dfrac{6}{x+2}=\dfrac{\left(x+2\right)^2}{x+2}-\dfrac{4\left(x+2\right)}{x+2}+\dfrac{6}{x+2}=x+2+\dfrac{6}{x+2}-4\ge2\sqrt{\dfrac{6\left(x+2\right)}{x+2}}-4=2\sqrt{6}-4\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x+2=\dfrac{6}{x+2}\)\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+2\right)^2=6\)\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=\sqrt{6}-2=\sqrt{6}-\sqrt{4}>0\left(nhan\right)\\x=-\sqrt{6}-2=-\left(\sqrt{6}+\sqrt{4}\right)< 0\left(loai\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy GTNN của \(A\) là \(2\sqrt{6}-4\) tại \(x=\sqrt{6}-2\)

Chúc bạn học tốt ~