Question

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) (x - 4 ) + 2008

Answer 1

\(\left(x-1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)+2008\)

\(=\left(x^2-5x+4\right)\left(x^2-5x+6\right)+2008\)

Đặt \(t=x^2-5x+4\) thì ta có:

\(t\left(t+2\right)+2008=t^2+2t+2008\)

\(=t^2+2t+1+2007\)

\(=\left(t+1\right)^2+2007\ge2007\)

Xảy ra khi \(t=-1\Rightarrow x^2-5x+4=-1\Rightarrow\)\(x=\dfrac{5\pm\sqrt{5}}{2}\)

Answer 2

A=( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) (x - 4 ) + 2008

A=( x²-5x+4) (x²-5x+6) +2008

A=( x²-5x+5-1) ( x²-5x+5+1) +2008

A=( x²-5x+5)²-1+2008

A=( x²-5x+5)² +2007 (1)

Mà ( x²-5x+5)² \(\ge0\forall x\)(2)

Từ (1) và (2)\(\Rightarrow A\ge2007\)

Dấu "=" xảy ra ví dụ khi x=\(\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}\)

Vậy Min A bằng 2007