Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của A : \(\dfrac{xy}{z}\)+ \(\dfrac{yz}{x}\) +\(\dfrac{zx}{y}\) với x;y;z là số dương và x + y + z = 1

Answer 1

Dễ dàng chứng minh được:

\(\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{xz}{y}\right)^2\ge3\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge\left(x+y+z\right)^2\)

Thật vậy: Đặt \(\left(\dfrac{xy}{z};\dfrac{yz}{x};\dfrac{xz}{y}\right)=\left(a;b;c\right)\), ta có:

\(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)(Luôn đúng). Vậy vế đầu đúng, vế thứ hai đúng theo Cauchy-Schwarz

Suy ra: \(A\ge1\)