Question

tim gia tri nho nhat C=2x^2+y^2-2x(y+1)+3

Answer 1

\(C=2x^2+y^2-2x\left(y-1\right)+3\Leftrightarrow2x^2+y^2-2xy+2x+3\Leftrightarrow\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2+2x+1\right)+2\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x+1\right)^2+2\ge2\)Vậy Min C = 2 khi \(\left[{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2=0\\\left(x+1\right)^2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x-y=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}y=-1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Answer 2

\(C=2x^2+y^2-2x\left(y+1\right)+3\\ C=x^2-2xy+y^2+x^2-2x+1+2\\ C=\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+2\)

vì: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2\ge0\\\left(x-1\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\) nên \(C\ge2\)

dấu "=" xảy ra khi \(x-1=0\Rightarrow x=1\\ x-y=0\Leftrightarrow1-y=0\Rightarrow y=1\)

vậy GTNN của C là 2 tại x=y=1

Answer 3

\(C=2x^2+y^2-2x\left(y+1\right)+3\)

\(C=2x^2+y^2-2xy-2x+3\)

\(C=x^2-2xy+y^2+x^2-2x+1+2\)

\(C=\left(x^2-2xy+y^2\right)+\left(x^2-2x+1\right)+2\)

\(C=\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+2\)

Với mọi giá trị của \(x;y\in R\) ta có:

\(\left(x-y\right)^2\ge0;\left(x-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+2\ge2\)

Hay \(C\ge2\) với mọi giá trị của \(x;y\in R\).

Để \(C=2\) thì \(\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2+2=2\)

\(\Rightarrow\left(x-y\right)^2+\left(x-1\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-y\right)^2=0\\\left(x-1\right)^2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=0\\x-1=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-y=0\\x=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=1\\x=1\end{matrix}\right.\)

Vậy GTNN của biểu thức C là 2 đạt được khi và chỉ khi \(x=y=1\)

Chúc bạn học tốt!!!(Được đấy Nhung à)