Lời giải:
$x^3-x^2+x-1=3^y$
$\Leftrightarrow x^2(x-1)+(x-1)=3^y$
$\Leftrightarrow (x^2+1)(x-1)=3^y
Dễ thấy $x^2+1>0$ nên $x-1>0$. Tức $x^2+1,x-1$ đều là số tự nhiên. Tồn tại $m,n\in\mathbb{N}; m> n$ sao cho:
\(\left\{\begin{matrix} x^2+1=3^m\\ x-1=3^n\end{matrix}\right.(m+n=y)\) \(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+1=3^m\\ x^2-2x+1=3^{2n}\end{matrix}\right.\Rightarrow 2x=3^m-3^{2n}\)
Kết hợp với $x=3^n+1$ suy ra:
$3^m-3^{2n}=2.3^n+2\Rightarrow 3^m=3^{2n}+2.3^n+2$
Vì $m>n; m,n\in\mathbb{N}$ nên $m\geq 1$. Do đó vế trái chia hết cho $3$
Nếu $n\geq 1$ thì vế phải lại không chia hết cho $3$ (vô lý)
Do đó $n=0$. Thay vào $3^m=5$ (vô lý)
Vậy không tồn tại $x,y$ thỏa đề.
Cách số 2:
Ta có: $(x^2+1)(x-1)=3^y$
TH1: $x$ chia hết cho $3$ thì $x^2+1$ và $x-1$ đều không chia hết cho $3$
$\Rightarrow 3^y$ không chia hết cho $3$. Điều này xảy ra khi $y=0$
$\Rightarrow (x^2+1)(x-1)=1\Rightarrow x^2+1=x-1=0$ (vô lý- loại)
TH2: $x$ chia $3$ dư $1$. Đặt $x=3k+1$
$x^2+1=(3k+1)^2+1=9k^2+6k+2$ không chia hết cho $3$
$x-1=3k$ chia hết cho $3$
Mà tích của chúng bằng $3^y$ nên $x^2+1=1; x-1=3^y$
$\Rightarrow x=0; 3^y=-1$ (vô lý)
Nếu $x$ chia $3$ dư $2$. Đặt $x=3k+2$. Ta cũng dễ chỉ ra $x^2+1$ và $x-1$ đều không chia hết cho $3$. Đến đây làm tương tự như TH1.
Cách số 2:
Ta có: $(x^2+1)(x-1)=3^y$
TH1: $x$ chia hết cho $3$ thì $x^2+1$ và $x-1$ đều không chia hết cho $3$
$\Rightarrow 3^y$ không chia hết cho $3$. Điều này xảy ra khi $y=0$
$\Rightarrow (x^2+1)(x-1)=1\Rightarrow x^2+1=x-1=0$ (vô lý- loại)
TH2: $x$ chia $3$ dư $1$. Đặt $x=3k+1$
$x^2+1=(3k+1)^2+1=9k^2+6k+2$ không chia hết cho $3$
$x-1=3k$ chia hết cho $3$
Mà tích của chúng bằng $3^y$ nên $x^2+1=1; x-1=3^y$
$\Rightarrow x=0; 3^y=-1$ (vô lý)
Nếu $x$ chia $3$ dư $2$. Đặt $x=3k+2$. Ta cũng dễ chỉ ra $x^2+1$ và $x-1$ đều không chia hết cho $3$. Đến đây làm tương tự như TH1.
