Lời giải:
a)
Ta có: \(2^x-2^y=256=2^8\) (\(\Rightarrow x>y\) )
\(\Leftrightarrow 2^y(2^{x-y}-1)=2^8(*)\)
Vì \(x>y\Rightarrow x-y>0\Rightarrow 2^{x-y}\) chẵn. Do đó \(2^{x-y}-1\) lẻ. Kết hợp với
\((*)\Rightarrow 2^{x-y}-1=1\Leftrightarrow x-y=1\)
Khi đó: \(2^8=2^y(2^{x-y}-1)=2^y(2-1)=2^y\Rightarrow y=8\)
\(\Rightarrow x=y+1=9\)
PT có nghiệm \((x,y)=(9,8)\)
b) Giả sử \(x=y\Rightarrow 3^x+3^y= 2.3^x=3\vdots 2\) (vô lý). Do đó \(x\neq y\)
Không mất tính tổng quát giả sử \(x> y\).
PT tương đương: \(3^y(3^{x-y}+1)=3\) \((**)\)
Vì \(x>y\Rightarrow x-y\geq 1\Rightarrow 3^{x-y}\vdots 3\)
\(\Rightarrow 3^{x-y}+1\not\vdots 3\). Kết hợp với \((**)\Rightarrow 3^{x-y}+1=1\Leftrightarrow 3^{x-y}=0\) (vl)
Do đó PT vô nghiệm.
Câu c)
\((x-2)^2=3\Leftrightarrow \) \(\left[{}\begin{matrix}x-2=\sqrt{3}\\x-2=-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \)\(\left[{}\begin{matrix}x=2+\sqrt{3}\\x=2-\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
Câu d)
Nếu \(y=0\Rightarrow 2007^x=2000-2008^0=1999\Rightarrow x\not\in\mathbb{N}\)
Nếu \(y\geq 1.\)Ta thấy với mọi số tự nhiên \(x\in\mathbb{N}\Rightarrow 2007^x\) lẻ và \(2008^y\) chẵn
\(\Rightarrow 2007^x+2008^y\) lẻ. Mà 2000 là số chẵn, do đó pt vô nghiệm.
a) 2x - 2y = 256 (1) (x,y \(\in\) N)
\(\Rightarrow\) 2x > 2y
\(\Rightarrow\) x > y
Nên từ (1) ta có:
2y (2x-y - 1) = 28 . 1 (2)
Ta có: x > y
\(\Rightarrow\) 2x-y là số chẵn
\(\Rightarrow\) 2x-y - 1 là số lẻ
\(\Rightarrow\) (2x-y - 1) \(⋮̸\) 2
Mà 2y \(⋮\) 2
Nên từ (2) ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}2^{x-y}-1=1\\2^y=8\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2^{x-y}=1+1\\y=8\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2^{x-y}=2\\y=8\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y=1\\y=8\end{matrix}\right.\)
Thay y=8 vào x - y = 1, ta có:
x - 8 = 1
\(\Leftrightarrow\) x = 1 + 8
\(\Leftrightarrow\) x = 9
Vậy x = 9 ; y = 8
