Question

Tìm các số nguyên x, y thoả mãn \(x^3+2x^2+3x+2=y^3\)

Answer 1

Ta có:

\(2x^2+3x+2=2\left(x+\dfrac{3}{4}\right)^2+\dfrac{7}{8}>0\left(lđ\right)\)

\(x^3+2x^2+3x+2>x^3\)

\(y^3>x^3\Rightarrow y>x\) (1)

Chứng minh : y<x+2

\(\Rightarrow y^3< x^3+6x^2+12x+8\)

\(\Leftrightarrow x^3+2x^2+3x+2< x^3+6x^2+12x+8\)

\(\Leftrightarrow4x^2+9x+6>0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x+\dfrac{9}{4}\right)^2+\dfrac{15}{16}>0\left(lđ\right)\) (2)

Từ (1) và (2)

=>x<y<x+2

=>y=x+1(Các trường hợp số thập phân sẽ bị loại do x,y nguyên)

\(\Leftrightarrow x^3+2x^2+3x+2=x^3+3x+3x^2+1\)

\(\Leftrightarrow x^2=1\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=-1\end{matrix}\right.\)

Mà y=x+1

Nên x=1 thì y=2

x=-1 thì y =0