Lời giải:
Nếu $p^2+pq+q^2$ là lũy thừa cơ số $3$, ta viết dưới dạng phương trình:
\(p^2+pq+q^2=3^t\) với $t$ là số tự nhiên. Vì \(p,q\in\mathbb{P}\Rightarrow t>2\)
Ta có:
\(3^t=p^2+pq+q^2=(p-q)^2+3pq\)
\(\Rightarrow (p-q)^2=3^t-3pq\vdots 3\) \(\Rightarrow p-q\vdots 3\). Do đó $p,q$ có cùng số dư khi chia cho $3$
TH1: \(p\equiv q\equiv 0\pmod 3\Rightarrow p,q\vdots 3\Rightarrow p=q=3\)
Thử lại có: \(3^t=27\Leftrightarrow t=3\) (thỏa mãn)
TH2: \(p\equiv q\equiv 1\pmod 3\). Đặt \(p=3k+1, q=3m+1\)
\(3^t=p^2+pq+q^2=(3k+1)^2+(3k+1)(3m+1)+(3m+1)^2\)
\(\Leftrightarrow 3^t=9(k^2+m^2+m+k+km)+3\) chia hết cho $3$ mà không chia hết cho $9$ , điều này vô lý vì \(t>2\Rightarrow 3^t\vdots 9\)
TH3: \(p\equiv q\equiv 2\pmod 3\Rightarrow p=3k+2, q=3m+2\)
\(3^t=p^2+pq+q^2=(3k+2)^2+(3k+2)(3m+2)+(3m+2)^2\)
\(\Leftrightarrow 3^t=9(k^2+m^2+2m+2k+km+1)+3\) chia hết cho $3$ mà không chia hết cho $9$, điều này vô lý vì với $t>2$ thì $3^t$ chia hết cho $9$
Do đó \(p=q=3\)
