\(\left(x^2+y^2+1\right)^2-5\left(x^2+y^2+1\right)+y^2=0\)
\(\left(x^2+y^2+1\right)^2+y^2=5\left(x^2+y^2+1\right)\)
Do \(x^2+y^2+1\ne0\) với mọi x,y \(\Rightarrow\) chia 2 vế cho \(x^2+y^2+1\) ta được:
\(\left(x^2+y^2+1\right)+\dfrac{y^2}{x^2+y^2+1}=5\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho vế trái:
\(\left(x^2+y^2+1\right)+\dfrac{y^2}{x^2+y^2+1}\ge2\sqrt{\dfrac{y^2\left(x^2+y^2+1\right)}{\left(x^2+y^2+1\right)}}=2\left|y\right|\)
\(\Rightarrow2\left|y\right|\le5\Rightarrow\left|y\right|\le\dfrac{5}{2}\Rightarrow y=\left\{-2,-1,0,1,2\right\}\)
\(y=\pm2\Rightarrow\left(x^2+5\right)^2-5\left(x^2+5\right)+4=0\Rightarrow\) không tồn tại x thỏa mãn
\(y=\pm1\Rightarrow\left(x^2+2\right)^2-5\left(x^2+2\right)+1=0\Rightarrow\) không có x nguyên thỏa mãn
\(y=0\Rightarrow\left(x^2+1\right)^2-5\left(x^2+1\right)=0\Rightarrow x^2+1=5\Rightarrow x=\pm2\)
Vậy có 2 cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn pt đã cho là (-2;0) và (2;0)
