Câu hỏi của Bắc Băng Dương

Question

Tìm các nguyên hàm sau đâya) $I_1=\int e^{2x}\sin3xdx$b) $I_2=\int e^{-x}\cos\frac{x}{2}dx$c) $I_2=\int e^{3x}\cos\left(e^x\right)d$

Nguyễn Bình Nguyên · Accepted Answer

Đối với cả ba nguyên hàm đã cho, ta sẽ áp dụng liên tiếp hai làn lấy nguyên hàm từng phần và trong hai lần việc chọn hàm $u=u\left(x\right)$ là tùy ý ( còn $dv$ là phần còn lại của biểu thức dưới dấu nguyên hàm. Sau phép lấy nguyên hàm từng phần kép đó ta sẽ thu được một phương trình bậc nhất với ẩn là nguyên hàm cần tìma) Đặt $u=e^{2x}$ ,$dv=\sin3xdx$Từ đó $du=2e^{2x}dx$   , $v=\int\sin3xdx=-\frac{1}{3}\cos3xdx$ Do đó : $I_1=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{3}\int e^{2x}\cos3xdx$$=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{3}.I'_1$$I'_1=\int e^{2x}\cos3xdx$Ta áp dụng công thức lấy nguyên hàm từng phầnĐặt $u=e^{2x}$  ; $dv=\cos3xdx$   Khi đó $du=2^{2x}dx$; $v=\frac{1}{3}\sin2x$Do đó $I'_1=\frac{1}{3}e^{2x}\sin3x-\frac{2}{3}\int e^{2x}\sin3xdx$ Như vậy :$I_1=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{9}e^{2x}\sin3x-\frac{4}{9}\int e^{2x}\sin3xdx$$I_1=\int e^{2x}\sin3xdx$Tức là $I_1=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{9}\sin3x-\frac{4}{9}I_1$Ta có $I_1=\frac{3}{13}e^{2x}\left(\frac{2}{3}\sin3x-\cos3x\right)+C$Câu trả lời: Đối với cả ba nguyên hàm đã cho, ta sẽ áp dụng liên tiếp hai làn lấy nguyên hàm từng phần và trong hai lần việc chọn hàm $u=u\left(x\right)$ là tùy ý ( còn $dv$ là phần còn lại của biểu thức dưới dấu nguyên hàm. Sau phép lấy nguyên hàm từng phần kép đó ta sẽ thu được một phương trình bậc nhất với ẩn là nguyên hàm cần tìma) Đặt $u=e^{2x}$ ,$dv=\sin3xdx$Từ đó $du=2e^{2x}dx$   , $v=\int\sin3xdx=-\frac{1}{3}\cos3xdx$ Do đó : $I_1=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{3}\int e^{2x}\cos3xdx$$=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{3}.I'_1$$I'_1=\int e^{2x}\cos3xdx$Ta áp dụng công thức lấy nguyên hàm từng phầnĐặt $u=e^{2x}$  ; $dv=\cos3xdx$   Khi đó $du=2^{2x}dx$; $v=\frac{1}{3}\sin2x$Do đó $I'_1=\frac{1}{3}e^{2x}\sin3x-\frac{2}{3}\int e^{2x}\sin3xdx$ Như vậy :$I_1=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{9}e^{2x}\sin3x-\frac{4}{9}\int e^{2x}\sin3xdx$$I_1=\int e^{2x}\sin3xdx$Tức là $I_1=-\frac{1}{3}e^{2x}\cos3x+\frac{2}{9}\sin3x-\frac{4}{9}I_1$Ta có $I_1=\frac{3}{13}e^{2x}\left(\frac{2}{3}\sin3x-\cos3x\right)+C$

Nguyễn Bình Nguyên · Answer

b) Đặt $u=e^{-x}$ ; $dv=\cos\frac{x}{2}dx$Từ đó :$du=-e^{-x}dx$   ; $v=\int\cos\frac{x}{2}dx=2\int\cos\frac{x}{2}d\left(\frac{x}{2}\right)=2\sin\frac{x}{2}$Do đó :$I_2=2e^{-x}\sin\frac{x}{2}+2\int e^{-x}\sin\frac{x}{2}dx$ (b)$\int e^{-x}\sin\frac{x}{2}dx=I'_2$Ta cần tính $I'_2$  Đặt $u=e^{-x}$   ; $dv=\sin\frac{x}{2}dx$Từ đó :$du=-e^{-x}dx$   ; $v=\int\sin\frac{x}{2}dx=-2\cos\frac{x}{2}$Do đó :$I'_2=-2e^{-x}\cos\frac{x}{2}-2\int e^{-x}\cos\frac{x}{2}dx$    $=-2e^{-x}\cos\frac{x}{2}-2I_2$Thế $I'_2$   vào (b) ta thu được phương trình bậc nhất với ẩn là $I_2$$I_2=2e^{-x}\sin\frac{x}{2}+2\left[-2e^{-x}\cos\frac{x}{2}-2I_2\right]$hay là$5I_2=2e^{-x}\sin\frac{x}{2}-4e^{-x}\cos\frac{x}{2}$ $\Rightarrow$ $I_2=\frac{2}{5}e^{-x}\left(\sin\frac{x}{2}-2\cos\frac{x}{2}\right)+C$Câu trả lời: b) Đặt $u=e^{-x}$ ; $dv=\cos\frac{x}{2}dx$Từ đó :$du=-e^{-x}dx$   ; $v=\int\cos\frac{x}{2}dx=2\int\cos\frac{x}{2}d\left(\frac{x}{2}\right)=2\sin\frac{x}{2}$Do đó :$I_2=2e^{-x}\sin\frac{x}{2}+2\int e^{-x}\sin\frac{x}{2}dx$ (b)$\int e^{-x}\sin\frac{x}{2}dx=I'_2$Ta cần tính $I'_2$  Đặt $u=e^{-x}$   ; $dv=\sin\frac{x}{2}dx$Từ đó :$du=-e^{-x}dx$   ; $v=\int\sin\frac{x}{2}dx=-2\cos\frac{x}{2}$Do đó :$I'_2=-2e^{-x}\cos\frac{x}{2}-2\int e^{-x}\cos\frac{x}{2}dx$    $=-2e^{-x}\cos\frac{x}{2}-2I_2$Thế $I'_2$   vào (b) ta thu được phương trình bậc nhất với ẩn là $I_2$$I_2=2e^{-x}\sin\frac{x}{2}+2\left[-2e^{-x}\cos\frac{x}{2}-2I_2\right]$hay là$5I_2=2e^{-x}\sin\frac{x}{2}-4e^{-x}\cos\frac{x}{2}$ $\Rightarrow$ $I_2=\frac{2}{5}e^{-x}\left(\sin\frac{x}{2}-2\cos\frac{x}{2}\right)+C$

Vũ Nguyễn Gia Hiển · Answer

c) Trước khi áp dụng công thức lấy nguyên hàm từng phần ta thực hiện phép đổi biến $t=e^x$.Khi đó : $I_2=\int t^2\cos tdt=t^2\sin t-2\int t\sin tdt$                 $=t^2\sin t-2\left(-t\cos t+\int\cos tdt\right)$                 =$\left(t^2-2\right)\sin t+2t\cos t+C$                 $=\left(e^{2x}-2\right)\sin e^x+2e^x\cos e^x+C$ Câu trả lời: c) Trước khi áp dụng công thức lấy nguyên hàm từng phần ta thực hiện phép đổi biến $t=e^x$.Khi đó : $I_2=\int t^2\cos tdt=t^2\sin t-2\int t\sin tdt$                 $=t^2\sin t-2\left(-t\cos t+\int\cos tdt\right)$                 =$\left(t^2-2\right)\sin t+2t\cos t+C$                 $=\left(e^{2x}-2\right)\sin e^x+2e^x\cos e^x+C$

Chương 3: NGUYÊN HÀM. TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Đề thi đánh giá năng lực

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Đề thi đánh giá năng lực