Giải
Gọi bốn số nguyên dương liên tiếp phải tìm là x - 1, x, x + 1, x + 2 với \(x\in Z\) và \(x\ge2\). Ta có:
\(\left(x-1\right)x\left(x+1\right)\left(x+2\right)=120\)
=> \(\left[x\left(x+1\right)\right].\left[\left(x-1\right)\left(x+2\right)\right]=120\)
=> \(\left(x^2+x\right).\left[\left(x^2+x\right)-2\right]=120\)
=> \(\left(x^2+x\right)^2-2\left(x^2+x\right)+1=121\)
=> \(\left(x^2+x-1\right)^2=121\)
=> \(\left(x^2-x+1\right)^2=11^2\)
Vì \(x\in Z\) và \(x\ge2\) nên \(x^2+x-1>0\). Suy ra: \(x^2+x-1=11\)
=> \(x^2+x-12=0\)
=> \(\left(x-3\right)\left(x+3\right)+\left(x-3\right)=0\)
=> \(\left(x-3\right)\left(x+4\right)=0\)
Vì \(x\ge2\) nên \(x+4>0\), do đó x - 3 = 0, suy ra x = 3.
Vậy bốn số nguyên dương liên tiếp phải tìm là: 2, 3, 4, 5
