Question

Tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. Qua I kẻ đường thẳng vuông góc với IA cẳ AB tại M, AC tại N.

a) Chứng minh \(\dfrac{BI^2}{CI^2}=\dfrac{BM}{CN}\)

b)chứng minh BM.AC - NC.AB + A\(I^2\) = AB.AC

Answer 1

a) Ta có: \(\widehat{BIM}\) + \(\widehat{MIA}\) = 180 - (\(\widehat{\dfrac{A}{2}}\) + \(\widehat{\dfrac{B}{2}}\))

=> \(\widehat{BIM}\) = 90 - (\(\widehat{\dfrac{A}{2}}\) + \(\widehat{\dfrac{B}{2}}\))

Và \(\widehat{BCI}\) = 90 - (\(\widehat{\dfrac{A}{2}}\) + \(\widehat{\dfrac{B}{2}}\))

=> \(\widehat{BIM}\) = \(\widehat{BCI}\)

=> \(\Delta\)BIM \(\sim\)\(\Delta\)BCI (g.g)

=> \(\overset{ }{\dfrac{BI}{BM}}\) = \(\overset{ }{\dfrac{BC}{BI}}\) => BI² = BM.BC (1)

C/m tương tự ta có \(\Delta\)ICN \(\sim\)\(\Delta\)BCI (g.g)

=> \(\overset{ }{\dfrac{CI}{CN}}\) = \(\overset{ }{\dfrac{BC}{CI}}\) => CI² = CN.BC (2)

Từ (1) và (2) => \(\overset{ }{\dfrac{BI^2}{CI^2}}\) = \(\overset{ }{\dfrac{BM}{CN}}\) (đpcm)

b) Tam giác MIB đồng dạng với tam giác NIC, viết ra tỉ số rồi thay vào VT là ra