Ta có \(A=\sum\limits^n_{k=1}k^2=\sum\limits^n_{k=1}C^1_k+2\sum\limits^n_{k=1}C^2_k\)
Kết hợp với bài 2.15 ta được :
\(A=C_{n+1}^2+2C^3_{n+1}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}{3}=\dfrac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)
chứng minh các công th
1,\(k\left(k-1\right).C^k_n=n\left(n-1\right).C_{n-2}^{k-2}\)
2,\(\dfrac{1}{A^2_2}+\dfrac{1}{A^2_3}+...........+\dfrac{1}{A^2_n}=1-\dfrac{1}{n}\)
\(nC^k_n=\left(k+1\right)C^{k+1}_n+k.C^k_n\)
\(2C^k_n+5C^k^{+1}_n+4C_n^{k+2}+C^{k+3}_n=C^k^{+2}_{n+2}+C_{n+3}^{k+3}\)
Chứng minh: \(\frac{n+1}{n+2}\left(\frac{1}{C_{n+1}^k}+\frac{1}{C_{n+1}^{k+1}}\right)=\frac{1}{C_n^k}\)
Tìm số nguyên dương n sao cho \(C_{2n+1}^1-2.2.C_{2n+1}^2+3.2^2.C_{2n+1}^3-...+\left(2n+1\right).2^{2n}.C_{2n+1}^{2n+1}=2019\)
Giải bất phương trình: \(\frac{P_{n+5}}{\left(n-k\right)!}\le60A^{k+2}_{n+3}\)
\(\frac{n^2}{n}=\frac{1}{\left(n-1\right)!}+\frac{1}{\left(n-2\right)!}\)
Cho tập hợp A gồm n phần tử \(\left(n\ge4\right)\). Biết rằng số tập hợp con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập hợp con gồm 2 phần tử của A. Tìm \(k\in\left[1,2,.....,n\right]\) sao cho số tập con gồm k phần tử của tập hợp A là lớn nhất.
Giải bất phương trình hai ẩn n, k với n,k \(\ge\) 0
\(\frac{P_{n+5}}{\left(n-k\right)!}\) \(\le\) 60\(A_{n+3}^{k+2}\) (1)
Chứng minh rằng với \(1\le k< n\) :
\(C_{n+1}^{k+1}=C_n^k+C^k_{n-1}+....+C^k_{k+1}+C^k_k\)
