Question

\(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\)Chưng minh rằng biểu thức trên có giá trị là một số nguyên

Answer 1

\(A=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\)

\(A^3=\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\right)^3\)

\(=9+\sqrt{80}+9-\sqrt{80}+3\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}.\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\left(\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}\right)\)\(=18+3.A\)

<=> \(A^3-3A-18=0\Leftrightarrow\left(A-3\right)\left(A^2+3A+6\right)=0\)

<=> A=3

vì \(A^2+3A+6=\left(A+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{15}{4}>0\)

Vậy A là một số nguyên