Question

So sánh các cặp số sau :

a) \(\sqrt[4]{6}\)  và \(\sqrt[3]{5}\)

b) \(\sqrt{10}\)  và \(\sqrt[3]{30}\)

c) \(\left(\frac{\pi}{5}\right)^{\sqrt{10}-3}\) và 1

d) \(e^{\sqrt{3}+1}\) và \(e^{\sqrt{7}}\)

Answer 1

d) So sánh :

\(\sqrt{3}+1\) và \(\sqrt{7}\), ta có :

\(\left(\sqrt{3}+1\right)^2-\left(\sqrt{7}\right)^2=3+1+2\sqrt{3}-7=2\sqrt{3}-3\)

Hơn nữa : 

\(\left(2\sqrt{3}\right)^2-3^2=4.3-9=9>0\)

Do đó 

\(\sqrt{3}+1>\sqrt{7}\)

Mà \(e^{\sqrt{3}+1}>e^{\sqrt{7}}\)

Answer 2

c) Ta có :

\(\left(\frac{\pi}{5}\right)^{\sqrt{10}-3}=\frac{\left(\frac{\pi}{5}\right)^{\sqrt{10}}}{\left(\frac{\pi}{5}\right)^3}\)

Lại có \(0<\pi<5\) nên \(0<\frac{\pi}{5}<1\) và \(\sqrt{10}>3\)

Do đó : \(\left(\frac{\pi}{5}\right)^{\sqrt{10}}<\left(\frac{\pi}{5}\right)^3\)

Mà \(\left(\frac{\pi}{5}\right)^3>0\) nên \(\left(\frac{\pi}{5}\right)^{\sqrt{10}-3}=\frac{\left(\frac{\pi}{5}\right)^{10}}{\left(\frac{\pi}{5}\right)^3}<1\)

Answer 3

b) Đưa các căn thức về cùng căn bậc 6, ta có :

\(\sqrt{10}=\sqrt[10]{10^3}=\sqrt[6]{1000}\)

\(\sqrt[3]{30}=\sqrt[6]{30^2}=\sqrt[6]{900}\)

Mà 1000>900 nên \(\sqrt{10}>\sqrt[3]{30}\)

Answer 4

a)  Đưa các căn thức về cùng căn bậc 12, ta có :

\(\sqrt[4]{6}=\sqrt[12]{6^3}=\sqrt[12]{216}\)

\(\sqrt[3]{5}=\sqrt[12]{5^4}=\sqrt[12]{625}\)

Mà 216<625 nên \(\sqrt[4]{6}<\sqrt[3]{5}\)