Question

Rút gọn biểu thức

\(A=\frac{1}{2+2\sqrt{a}}+\frac{1}{2-2\sqrt{a}}-\frac{a^2+1}{1-a^2}\)

a/ Tìm giá trị của a ;biết A<\(\frac{1}{3}\)

Answer 1

Lời giải:

ĐK: $a\geq 0; a\neq 1$
\(A=\frac{2-2\sqrt{a}+2+2\sqrt{a}}{(2+2\sqrt{a})(2-2\sqrt{a})}-\frac{a^2+1}{1-a^2}\)

\(=\frac{4}{4-4a}-\frac{a^2+1}{(1-a)(1+a)}=\frac{1}{1-a}-\frac{a^2+1}{(1-a)(1+a)}\)

\(=\frac{1+a-(a^2+1)}{(1-a)(1+a)}=\frac{a-a^2}{(1-a)(1+a)}=\frac{a}{1+a}\)

\(A<\frac{1}{3}\Leftrightarrow \frac{a}{1+a}< \frac{1}{3}\Leftrightarrow 3a< a+1\)

\(\Leftrightarrow a< \frac{1}{2}\)

Kết hợp với ĐKXĐ suy ra $A< \frac{1}{3}$ khi mà $0\leq a< \frac{1}{2}$