điều kiện : \(y\ge2\)
ta có : \(P=\dfrac{\sqrt{y-2}}{y}\Leftrightarrow P^2=\dfrac{y-2}{y^2}\Leftrightarrow P^2y^2-y+2=0\)
vì phương trình này luôn có nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\ge0\)
\(\Leftrightarrow1^2-4P^2\left(2\right)\ge0\Leftrightarrow-8P^2+1\ge0\Leftrightarrow8P^2\le1\)
\(\Leftrightarrow P^2\le\dfrac{1}{8}\Leftrightarrow\dfrac{-1}{2\sqrt{2}}\le P\le\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow\) \(P_{max}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\) khi \(y=\dfrac{-b}{2a}=\dfrac{1}{2P^2}=\dfrac{1}{2.\left(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2}=4\)
vậy GTLN của \(P\) là \(\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\) dấu "=" xảy ra khi \(y=4\)
Lấy đáp án của bác dưới chế thành bài giải mới.
\(2\sqrt{2}P=\dfrac{2\sqrt{2\left(y-2\right)}}{y}=1-\dfrac{\left(y-2\right)-2\sqrt{2\left(y-2\right)}+2}{y}=1-\dfrac{\left(\sqrt{y-2}-\sqrt{2}\right)^2}{y}\le1\)
Dấu = xảy ra khi:
\(\sqrt{y-2}-\sqrt{2}=0\)
\(\Leftrightarrow y=4\)