ôCh tam giác ABC với tâm O. Gọi M là điểm bất kì bên trong tam giác ABC. Kẻ MH\(\perp\)BC, MK\(\perp\)AC, MI\(\perp\)AB.
1. Chứng minh rằng: MH+MK+MI=h (h là chiều cao của tam giác ABC).
2. Đường thẳng MO lần lượt cắt các cạnh BC, CA, AB tại A', B', C'.
Chứng minh rằng: \(\dfrac{MA'}{OA'}+\dfrac{MB'}{OB'}+\dfrac{MC'}{OC'}=3\)
Cho tam giác ABC đều, có AH là đường cao và M là điểm bất kì thuộc đoạn BC. Kẻ MP và MQ lần lượt vuông góc với AB và AC. Gọi O là trung điểm của AM. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, I là giao điểm của PQ và OH. Chứng minh rằng: 3 điểm M, I, G thẳng hàng
Cho \(\Delta\)ABC nội tiếp (O). M thuộc \(\stackrel\frown{BC}\) không chứa A. Kẻ MH và MI lần lượt vuông góc với AB và BC. HI cắt AC tại K
a) Chứng minh rằng 4 điểm B, H, I, M cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh rằng \(MK\perp AC\)
Từ điểm M trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta kẻ các đường vuông góc hạ xuống ba cạnh của tam giác \(MH\perp AB;MI\perp BC;MK\perp AC\). Chứng minh:
a, Ba tứ giác AHMK, HBIM, ICKM nội tiếp.
b, Ba điểm H, I, K nằm trên một đường thẳng ( Simson).
Cho tam giác ABC nhọn có AB<AC nội tiếp (O), gọi AD là đường kính của (O), tiếp tuyến tại D của (O) cắt BC tại M, đường thẳng MO cắt AB và AC lần lượt tại E, F
a) Chứng minh : MD2=MC.MB
b) Gọi H là trung điểm của BC, qua B vẽ đường thẳng song song với MO đường thẳng này cắt AD tại P. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BHD đi qua P
c) Chứng minh O là trung điểm của EF
Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn (O;R), đường kính BC cắt AB,AC lần lượt ở M và N. BN cắt CM tại D
a) Chứng minh tứ giác AMDN nội tiếp
b) Chứng minh góc MAD = OMC
c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMDN. Chứng minh MI là tiếp tuyến của (O;R)
Cho ΔABC vuông tại A. Từ một điểm M bất kỳ trong tam giác kẻ MH ⊥ BC, MJ ⊥ AC, MK ⊥ AB. Tìm vị trí của M sao cho tổng \(MH^2+MJ^2+MK^2\) nhỏ nhất.
Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC với các tiếp điểm là D; E; F lần lượt thuộc các cạnh BC; CA; AB. Chứng minh rằng tích các khoảng cách hạ từ một điểm P bất kì thuộc đường tròn (O) đến các cạnh của tam giác ABC bằng tích các khoảng cách từ điểm P đến các cạnh của tam giác DEF
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC), có các đường cao BN và CM cắt nhau tại H. Gọi O là trung điểm của BC. Chứng minh rằng :
MN<BC
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm 0.M là một điểm bất kỳ trên đường tròn đó. Gọi A, B',C' lần lượt là hình chiếu của M trên các đường thắng BC, CA, AB.
a) Chứng minh các tứ giác BC AM và CA MB nội tiếp.
b) Chứng minh 3 diểm A' , B', C' thẳng hàng.
c) Trên đường tròn tâm O dã cho lấy điểm \(M_1\ne M\). Gọi lần lượt là hình chiếu của \(M_1\) lên các đường thằng BC, CA, AB. Tim vị trí của điểm M, trên dường tròn tâm O để đường thẳng \(A_1B_1\) , vuông góc với đường thẳng B'C'.
