Ở một khu rừng nọ có 7 chú lùn, trong đó có 4 chú luôn nói thật, 3 chú còn lại nói thật với xác suất 0,5. Bạn Tuyết gặp ngẫu nhiên một chú lùn và hỏi xem chú ý ấy có phải là người nói thật không. Gọi A là biến cố “Chú lùn đó luôn nói thật” và B là biến cố “Chú lùn đó nhận mình là người luôn nói thật”.
a) Tính xác suất của các biến cố A và B.
b) Biết rằng chú lùn mà bạn Tuyết gặp tự nhận mình là người luôn nói thật. Tính xác suất để chú lùn đó luôn nói thật.
a) Có 7 chú lùn, trong đó có 4 chú lùn luôn nói thật, nên xác suất của biến cố \(A\) là \(P\left( A \right) = \frac{4}{7}\). Suy ra \(P\left( {\bar A} \right) = 1 - \frac{4}{7} = \frac{3}{7}\).
Nếu chọn được chú lùn luôn nói thật, xác suất chú lùn đó nói thật là 1. Như vậy \(P\left( {B|A} \right) = 1\).
Nếu chọn được chú lùn tự nhận mình nói thật, xác suất chú lùn đó nói thật là 0,5. Như vậy \(P\left( {B|\bar A} \right) = 0,5\).
Vậy xác suất của biến cố \(B\) là
\(P\left( B \right) = P\left( A \right).P\left( {B|A} \right) + P\left( {\bar A} \right).P\left( {B|\bar A} \right) = \frac{4}{7}.1 + \frac{3}{7}.0,5 = \frac{{11}}{{14}}.\)
b) Xác suất chú lùn đó luôn nói thật, nếu bạn Tuyết gặp một chú lùn tự nhận mình nói thật là \(P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right).P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( B \right)}} = \frac{{\frac{4}{7}.1}}{{\frac{{11}}{{14}}}} = \frac{8}{{11}}.\)