Những bạn ôn thi đại học 2017 nên chứng minh những tính chất như này:
\(\Delta ABC\) nội tiếp đường tròn tâm I, D là điểm chính giữa cung BC không chứa A. \(P=AB\cap CD\). BC cắt đường tròn ngoại tiếp \(\Delta APC\) tại Q, gọi K, X lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta APC,\Delta PKQ\) Khi đó:
a) qua P kẻ đương thẳng song song với BC cắt đường tròn ngoại tiếp \(\Delta APC\) tại E, chứng minh: tứ giác QPEC là là hình thang cân và \(IC\perp EC\) (gợi ý: chứng minh L, I, C thẳng hàng với L đối xứng với E qua K, L\(\in\)đường tròn ngoại tiếp \(\Delta APC\))
b) tiếp tuyên tại P của đườngtròn ngoại tiếp \(\Delta PKQ\) song song với BC hay \(PX\perp BC\)
c) PK là phân giác \(\widehat{QPE}\)
đầu tiên ta sẽ chứng minh định lý đảo của của định lý góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung. Nghĩa là đường thẳng d tạo với dây cung của một đường tròn một góc bằng nửa số đo cung đấy thì d là tiếp tuyến của đường tròn.
chứng minh:
(O) có góc ABC nội tiếp chắn cung AC và 1 đường thẳng d đi qua C và góc ACD=ABC(D thuộc d)
kẻ tiếp tuyến d' đi qua C và D' thuộc d' sao cho ACD'=ABC
do đó góc ACD = ACD' nên C,D,D' thẳng hàng hay d và d' trùng nhau.
ta sẽ đi vàochứng mính bài toán:
tứ giác PQEC là hình thang và do nó nội tiếp đường tròn nên nó là hình thang cân.(các bạn tự chứng minh qua hai góc so le trong).
ta sẽ chứng minh \(IC\perp CE\) bằng cách chứng minh CE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.
thật vây: do tứ giác PQEC là hình thang cân nên \(\widehat{QCE}=\widehat{CQP}\)
mà \(\widehat{CQP}=\widehat{CAP}\) (do cùng chắn cung CP trong đường tròn tâm K).
do vậy: \(\widehat{QCE}=\widehat{CAP}\Leftrightarrow\widehat{BAC}=\widehat{BEC}\) do vậy CE tạo với BC một góc bằng nửa cung BC nên CE là tiếp tuyến của đường tròn tâm I. nên CE vuông góc với CI.
câu b.một cách tương tự ta cũng chứng minh \(\widehat{QKP}=\widehat{KPE}\) khi đó PE sẽ là tiếp tuyến của đường tròn tâm X. Nên PE vuông góc PX, mà PE song song với BC nên BC vuông góc với PX.
thật vậy: ta sẽ chứng minh \(\Delta QKP=\Delta PKE\).
có KQ=KP=KE.
Ta chỉ cần chứng minh \(\widehat{QKP}=\widehat{PKE}\).
thật vậy: \(\widehat{QKP}=2.\widehat{QCP}=\widehat{BAC}\) vì AD là tia phân giác góc BAC.
tương tự như vậy: \(\widehat{PKE}=2\widehat{PCE}=\widehat{BAC}\)
vậy \(\widehat{QKP}=\widehat{KPE}\) nên \(\Delta QKP=\Delta PKE\) nên góc KQP= góc KPE.
vậy PE là tiếp tuyến . ta suy ra đpcm.
câu c có thể dễ dàng suy ra từ câu b:
khi tam giác KQP=tam giác KPE suy ra : góc KPQ=góc KPE nên PK là tia phân giác của góc QPE.
